20 กรกฎาคม 1922: อันเดรย์ มาร์คอฟ กับมรดกที่เรียกว่า Markov Chain
เกริ่นนำ
วันที่ 20 กรกฎาคม ค.ศ. 1922 ณ เมืองเปโตรกราด (ปัจจุบันคือเซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก) ประเทศรัสเซีย อันเดรย์ อันเดรเยวิช มาร์คอฟ (Andrei Andreyevich Markov) นักคณิตศาสตร์ผู้บุกเบิกทฤษฎีความน่าจะเป็นสมัยใหม่ได้เสียชีวิตลง ผลงานที่เขาทิ้งไว้อย่าง Markov Chain กลายเป็นหนึ่งในเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่ทรงอิทธิพลที่สุดในโลกยุคปัจจุบัน ตั้งแต่การพยากรณ์อากาศไปจนถึงอัลกอริทึมค้นหาของ Google
เส้นทางนักคณิตศาสตร์ผู้เข้มงวด
มาร์คอฟศึกษาที่มหาวิทยาลัยเซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก ภายใต้การดูแลของปาฟนูตี เชบีเชฟ (Pafnuty Chebyshev) นักคณิตศาสตร์ชั้นนำของรัสเซียในยุคนั้น เขาขึ้นชื่อเรื่องความเข้มงวดทางวิชาการและมีบทบาททางการเมืองเชิงต่อต้านรัฐบาลซาร์ในบางช่วงของชีวิต ก่อนจะอุทิศตนให้กับงานวิจัยด้านทฤษฎีจำนวนและความน่าจะเป็นอย่างจริงจัง
กำเนิดแนวคิด Markov Chain
ในช่วงต้นคริสต์ศตวรรษที่ 20 มาร์คอฟได้พัฒนาแนวคิดเกี่ยวกับกระบวนการสุ่ม (stochastic process) ที่ผลลัพธ์ในอนาคตขึ้นอยู่กับสถานะปัจจุบันเท่านั้น โดยไม่จำเป็นต้องพิจารณาประวัติทั้งหมดในอดีต หลักการนี้ต่อมาถูกเรียกว่า สมบัติมาร์คอฟ (Markov Property) ซึ่งเขียนอยู่ในรูปอย่างง่ายได้ว่า
$$P(X_{n+1} = x \mid X_n, X_{n-1}, \ldots, X_0) = P(X_{n+1} = x \mid X_n)$$
กล่าวคือ ความน่าจะเป็นของสถานะถัดไปขึ้นอยู่กับสถานะปัจจุบันเพียงอย่างเดียว ระบบที่มีคุณสมบัตินี้เรียกว่า Markov Chain ซึ่งสามารถอธิบายได้ด้วยเมทริกซ์การเปลี่ยนสถานะ (transition matrix) ที่บอกความน่าจะเป็นในการเปลี่ยนจากสถานะหนึ่งไปยังอีกสถานะหนึ่ง
มาร์คอฟทดสอบแนวคิดนี้เป็นครั้งแรกโดยการวิเคราะห์รูปแบบของตัวอักษรสระและพยัญชนะในวรรณกรรมรัสเซียเรื่อง Eugene Onegin ของพุชกิน เพื่อแสดงว่าลำดับตัวอักษรไม่ได้เป็นอิสระต่อกันโดยสิ้นเชิง แต่มีรูปแบบความสัมพันธ์ที่สามารถจำลองทางคณิตศาสตร์ได้
จากทฤษฎีสู่การประยุกต์ใช้ทั่วโลก
แม้แนวคิดของมาร์คอฟจะเริ่มต้นจากปัญหาทางภาษาศาสตร์ แต่ปัจจุบัน Markov Chain ถูกนำไปประยุกต์ใช้อย่างกว้างขวาง เช่น
- การพยากรณ์อากาศและแบบจำลองภูมิอากาศ
- อัลกอริทึม PageRank ที่ Google ใช้จัดอันดับหน้าเว็บ ซึ่งมองการคลิกลิงก์ของผู้ใช้เป็นกระบวนการมาร์คอฟ
- การเงินและเศรษฐศาสตร์ สำหรับจำลองความเสี่ยงและราคาสินทรัพย์
- พันธุศาสตร์และชีวสารสนเทศ สำหรับวิเคราะห์ลำดับดีเอ็นเอ
- การประมวลผลภาษาธรรมชาติ ซึ่งเป็นรากฐานของโมเดลภาษาในยุคแรกก่อนจะพัฒนาสู่ปัญญาประดิษฐ์สมัยใหม่
มรดกทางวิชาการ
มาร์คอฟทำงานร่วมกับเชบีเชฟและนักคณิตศาสตร์รัสเซียคนอื่น ๆ ในการวางรากฐานสำนักทฤษฎีความน่าจะเป็นแห่งเซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก ซึ่งมีอิทธิพลต่อวงการคณิตศาสตร์รัสเซียและโลกมาอย่างยาวนาน ชื่อของเขายังถูกใช้เรียกแนวคิดอื่น ๆ อีกมากมาย เช่น Markov Decision Process ที่เป็นรากฐานสำคัญของสาขาการเรียนรู้แบบเสริมกำลัง (Reinforcement Learning) ในปัญญาประดิษฐ์ปัจจุบัน
คำถามชวนคิดสำหรับนักเรียน
- เพราะเหตุใดสมบัติที่ว่า “อนาคตขึ้นอยู่กับปัจจุบันเท่านั้น” จึงทำให้การคำนวณทางคณิตศาสตร์ง่ายขึ้นกว่าการพิจารณาประวัติทั้งหมด?
- นักเรียนคิดว่าเหตุใดอัลกอริทึมค้นหาเว็บอย่าง PageRank จึงสามารถใช้แนวคิด Markov Chain ในการจัดอันดับเว็บไซต์ได้?
- ลองยกตัวอย่างสถานการณ์ในชีวิตประจำวันที่อาจจำลองได้ด้วยแนวคิด Markov Chain
เอกสารอ้างอิง
MacTutor History of Mathematics Archive. (n.d.). Andrei Andreyevich Markov. University of St Andrews. Retrieved from https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Markov/
Basharin, G. P., Langville, A. N., & Naumov, V. A. (2004). The life and work of A. A. Markov. Linear Algebra and Its Applications, 386, 3–26.
ความคิดเห็น