พื้นฐานพีชคณิต (Algebra Fundamentals)

ระดับผู้อ่าน : นักเรียน ม.ปลาย–ปี 1 (และทุกคนที่อยากทบทวนพื้นฐาน)
ผลลัพธ์การเรียนรู้ : เข้าใจแนวคิดหลักของพีชคณิตเชิงเส้นและเชิงบท พร้อมต่อยอดสู่แคลคูลัส AI และคณิตศาสตร์ชั้นสูงอื่น ๆ

1. บทนำ | Why Algebra Matters

พีชคณิตคือ “ภาษากลาง” ของคณิตศาสตร์ ใช้สัญลักษณ์เพื่อแทนค่าที่เปลี่ยนแปลงได้ ช่วยแก้ปัญหาจริงตั้งแต่การคำนวณดอกเบี้ยทบต้น ไปจนถึงการปรับน้ำหนักของเส้นใยประสาทใน Neural Network

2. สมการเชิงเส้น & อสมการ (Linear Equations & Inequalities)

2.1 สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

$ax+b=0⇒x=−ba, a≠0ax + b = 0 \quad\Rightarrow\quad x = -\frac{b}{a},\; a\neq 0$

2.2 ระบบสมการเชิงเส้น $nn$ ตัวแปร

$Ax=b,A∈Rm×nA\mathbf{x}=\mathbf{b},\quad A\in\mathbb{R}^{m\times n}$

วิธีแก้คลาสสิก : การแทนค่า, การกำจัดแบบเกาส์ (Gaussian elimination)
เงื่อนไขมีคำตอบเดียว : $det⁡(A)≠0\det(A)\neq 0$ (สำหรับ $n=mn=m$ )

2.3 อสมการ

กราฟ $ax+b>0ax+b>0$ คือครึ่งเส้นตรงซึ่งช่วยวิเคราะห์เงื่อนไขโดเมนของฟังก์ชัน และใช้ในปัญหาการเหมาะที่สุดเชิงเส้น (Linear Programming)

3. พหุนาม (Polynomials) & การแยกตัวประกอบ

นิยาม : $P(x)=anxn+⋯+a0P(x)=a_nx^n+\dots+a_0$
ทฤษฎีราก (Factor Theorem) : $P(r)=0P(r)=0$ ⇔ $(x-r)(x-r)$ เป็นตัวประกอบ
การหารสังเคราะห์ — เครื่องมือเร็วสำหรับหาเศษเมื่อหารด้วย $x-rx-r$

ตัวอย่าง : จงแยกตัวประกอบ $x3-4\times2+5x-2x^3-4x^2+5x-2$

$x3-4\times2+5x-2=(x-1)(x2-3x+2)=(x-1)2(x-2)x^3-4x^2+5x-2=(x-1)(x^2-3x+2)=(x-1)^2(x-2)$

4. ฟังก์ชันมีเหตุผล & รากที่ซ่อนอยู่

$R(x)=P(x)Q(x),Q(x)≠0R(x)=\frac{P(x)}{Q(x)},\quad Q(x)\neq 0$

จุดกำหนดนิยาม : $xx$ ที่ทำให้ $Q(x)=0Q(x)=0$ ต้องตัดออก
การแยกส่วนย่อย (Partial Fractions) ช่วยอินทิกรัล $3x+1(x−1)(x+2)=Ax−1+Bx+2\frac{3x+1}{(x-1)(x+2)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+2}$

5. เมทริกซ์ & เวกเตอร์เบื้องต้น

5.1 การคูณเมทริกซ์

$(C)ij=∑k=1nAikBkj(C)_{ij}=\sum_{k=1}^{n}A_{ik}B_{kj}$

5.2 อินเวอร์สเมทริกซ์

มีเฉพาะเมื่อ $det⁡(A)≠0\det(A)\neq 0$
ใช้แก้ $Ax=bA\mathbf{x}=\mathbf{b}$ โดย $x=A−1b\mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}$

5.3 แอปพลิเคชัน

การหมุนเวกเตอร์ในกราฟิกส์คอมพิวเตอร์
การถดถอยเชิงเส้น (Linear Regression) : $β^=(XTX)−1XTy\hat{\beta}=(X^{\mathsf T}X)^{-1}X^{\mathsf T}y$

6. บทนำพีชคณิตเชิงบท (Abstract Algebra Primer)

โครงสร้าง	นิยามสั้น	ตัวอย่าง
กลุ่ม (Group)	เซต + โอเปอเรชัน ปิด, สัมพัทธภาพ,เอกลักษณ์, อินเวอร์ส	$(Z,+)(\mathbb{Z},+)$
ริง (Ring)	กลุ่มภายใต้ +, กึ่งกลุ่มภายใต้ ×, แจกแจง	$(Z,+,×)(\mathbb{Z},+,\times)$
ฟีลด์ (Field)	ริง ที่ทุกตัว $≠0\neq 0$ มีอินเวอร์ส ×	$(Q,+,×)(\mathbb{Q},+,\times)$

เหตุผลที่ควรใส่ไว้ : แนวคิดเหล่านี้เป็นพื้นฐานของการเข้ารหัส (Cryptography) และทฤษฎีดั้งเดิมของสมบัติสมมาตรในฟิสิกส์

7. ตัวอย่างปัญหาฝึกหัด

แก้ระบบ ${2x+3y=74x−5y=1\begin{cases} 2x+3y=7\\ 4x-5y=1 \end{cases}$
ให้ P(x)=2×4−3×3−x+6P(x)=2x^4-3x^3-x+6
- (ก) จงพิสูจน์ว่ามีรากจริงอย่างน้อย 1 ค่า
- (ข) ใช้ Horner’s Method เพื่อลองหารากเต็มจำนวน
จงพิสูจน์ว่า $(Zn,+)(\mathbb{Z}_n,+)$ เป็นกลุ่มภายใต้โมดูโล $nn$