เครื่องจักรกลไกในศตวรรษที่ 19 ไม่สามารถประมวลผลตรรกะซับซ้อนแบบชิปซิลิคอนได้ การออกแบบกลไกให้ทำการคูณหรือหารพหุนามดีกรีสูงโดยตรงจึงแทบเป็นไปไม่ได้ในทางวิศวกรรม แต่เหตุใด ชาร์ลส์ แบบเบจ จึงสามารถออกแบบเครื่องคำนวณตารางลอการิทึมและฟังก์ชันตรีโกณมิติด้วยฟันเฟืองได้?
คำตอบอยู่ที่การประยุกต์ใช้คณิตศาสตร์บริสุทธิ์ที่มีชื่อว่า ระเบียบวิธีผลต่างอันตะ (Method of Finite Differences)
หัวใจของวิธีนี้คือ: “สำหรับพหุนามดีกรี $n$ ใดๆ เมื่อเราหาผลต่างอันตะลำดับที่ $n$ ($\Delta^n$) ค่าของผลต่างนั้นจะกลายเป็นค่าคงที่เสมอ”
ยกตัวอย่างพหุนามกำลังสองอย่างง่าย: $f(x) = x^2 + x + 1$
-
เมื่อ $x = 1, 2, 3, 4, 5$ ค่าของ $f(x)$ จะได้ $3, 7, 13, 21, 31$
-
ผลต่างอันดับที่หนึ่ง ($\Delta^1$): $7-3 = 4, \; 13-7 = 6, \; 21-13 = 8, \; 31-21 = 10$
-
ผลต่างอันดับที่สอง ($\Delta^2$): $6-4 = 2, \; 8-6 = 2, \; 10-8 = 2$ (กลายเป็นค่าคงที่)
เมื่อผลต่างอันดับสุดท้ายเป็นค่าคงที่ กลไกฟันเฟืองของ Difference Engine จึงไม่จำเป็นต้องคำนวณยกกำลังหรือคูณตัวเลขใหม่ในแต่ละรอบ สิ่งที่เครื่องต้องทำมีเพียงการหมุนฟันเฟืองเพื่อ “บวกสะสม” (Accumulative Addition) จากแถวผลต่างคงที่ย้อนกลับขึ้นไปหาค่าของฟังก์ชัน
แนวคิดนี้ไม่เพียงปฏิวัติวงการวิศวกรรมกลไก แต่ยังเป็นแกนหลักของระเบียบวิธีเชิงตัวเลข (Numerical Methods) ในปัจจุบันที่แปลงปัญหาแคลคูลัสและการประมาณค่าฟังก์ชันให้อยู่ในรูปของการดำเนินการพีชคณิตพื้นฐานที่คอมพิวเตอร์ประมวลผลได้อย่างรวดเร็ว
ความคิดเห็น