ปิแอร์ โลรองต์: วิศวกรทหารผู้ค้นพบอนุกรมที่แบกรับทฤษฎีเศษเหลือ
ปิแอร์ อัลฟงส์ โลรองต์ (Pierre Alphonse Laurent) เกิดเมื่อวันที่ 18 กรกฎาคม ค.ศ. 1813 ที่กรุงปารีส เขาไม่ได้เป็นนักคณิตศาสตร์ในมหาวิทยาลัยแบบทั่วไป แต่เป็นวิศวกรทหารที่ทำงานควบคุมการก่อสร้างท่าเรือที่เมืองเลออาฟวร์ (Le Havre) ทว่าในเวลาว่างเขาได้พัฒนาแนวคิดที่ต่อมากลายเป็นเสาหลักของการวิเคราะห์เชิงซ้อน
จากงานวิศวกรรมสู่คณิตศาสตร์บริสุทธิ์
ระหว่างปฏิบัติหน้าที่ที่ท่าเรือเลออาฟวร์ในช่วงปี ค.ศ. 1842-1843 โลรองต์ได้ค้นคว้าวิธีขยายอนุกรมเทย์เลอร์ (Taylor series) ให้ครอบคลุมฟังก์ชันที่มีภาวะเอกฐาน (singularity) เขาส่งผลงานเข้าประกวดรางวัลใหญ่ของสถาบันวิทยาศาสตร์ฝรั่งเศส (Grand Prix des Sciences Mathématiques) ในปี ค.ศ. 1843 แต่น่าเสียดายที่ส่งล่าช้าเกินกำหนดเพียงเล็กน้อย จึงไม่ได้รับการพิจารณา และผลงานของเขาก็ได้รับการตีพิมพ์อย่างเป็นทางการหลังจากที่เขาเสียชีวิตไปแล้ว
อนุกรมโลรองต์
สำหรับฟังก์ชันวิเคราะห์เชิงซ้อน $f(z)$ ที่มีภาวะเอกฐานอยู่ที่ $z_0$ โลรองต์แสดงให้เห็นว่าสามารถเขียน $f(z)$ ในบริเวณวงแหวน (annulus) รอบ $z_0$ ได้ในรูปอนุกรมสองทาง:
$$f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n (z – z_0)^n$$
โดยที่สัมประสิทธิ์หาได้จาก
$$a_n = \frac{1}{2\pi i} \oint_{C} \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}, dz$$
ส่วนที่มีเลขชี้กำลังติดลบ (เรียกว่า principal part) คือหัวใจสำคัญที่ทำให้เกิด ทฤษฎีเศษเหลือ (Residue Theorem) ซึ่งเป็นเครื่องมือทรงพลังในการคำนวณปริพันธ์เชิงซ้อนและปริพันธ์จริงที่ยากด้วยวิธีอื่น
ความสำคัญ
อนุกรมโลรองต์ทำให้นักคณิตศาสตร์สามารถจำแนกประเภทของภาวะเอกฐานได้ (removable, pole, essential singularity) และเป็นพื้นฐานของวิชาการวิเคราะห์เชิงซ้อนระดับปริญญาตรีและโทในปัจจุบัน แม้ผู้ค้นพบจะไม่ใช่นักวิชาการในระบบมหาวิทยาลัย แต่ผลงานของเขากลับส่งอิทธิพลอย่างลึกซึ้งต่อคณิตศาสตร์บริสุทธิ์
กิจกรรมสำหรับผู้เรียน
- หาอนุกรมโลรองต์ของ $f(z) = \dfrac{1}{z(z-1)}$ รอบจุด $z_0 = 0$ ในบริเวณ $0 < |z| < 1$
- อธิบายความแตกต่างระหว่างอนุกรมเทย์เลอร์และอนุกรมโลรองต์ พร้อมยกตัวอย่างฟังก์ชันที่ใช้แต่ละแบบ
- จากอนุกรมโลรองต์ในข้อ 1 หาค่าเศษเหลือ (residue) ที่ $z = 0$
เอกสารอ้างอิง
O’Connor, J. J., & Robertson, E. F. (n.d.). Pierre Alphonse Laurent. MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews. https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Laurent_Pierre/
Wikipedia contributors. (n.d.). Pierre Alphonse Laurent. Wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Pierre_Alphonse_Laurent
ความคิดเห็น